Herleitung der Gleichung für die momentane Elongation
Betrachtet man die Kreisbewegung der Kugel, wie im Video zu sehen, von der Seite, sieht man nur eine Auf- und Abbewegung.
Beim Pendel passiert genau das Gleiche, es findet auch nur eine Auf- und Abbewegung statt, d.h. diese Bewegung ist äquivalent zur Kreisbewegung.
Da Schwingungen und Kreisbewegungen äquivalente Bewegungen sind, betrachten wir zunächst die Kreisbewegungen und übertragen dann die Ergebnisse auf die Schwingungen.
Die Eleongation y kann bei der Kreisbewegung mit Hilfe der Winkelbeziehung für den Sinus des Winkels φ berechnet werden:
oder
Setzt man in diese Gleichung die Angaben aus der Zeichnung ein (In dem Dreieck in dem Kreis ist y die Gegenkathete und r die Hypothenuse.) so erhält man für die Eleongation y:
Der Drehwinkel φ ändert sich in Abhängigkeit von der Zeit. Deshalb wird φ(t) geschrieben. Er lässt sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω folgendermaßen ausdrücken:
Setzt man dies in die Formel für die Eleongation y ein so erhält man:
Diese Formel beschreibt die Änderung der Gegenkathete y während der Kreisbewegung.
Beispiel: Die Kugel benötigt für eine Umdrehung 0,8 Sekunden. Welche Länge hat die Gegenkathete y der Kreisbewegung der Kugel nach 0,3 Sekunden?
geg.: T = 0,8s, t = 0,3s, r = 26cm
ges.: y
Für diese Formel benötigen wir ω.
Nun kann ω in die Gleichung eingesetzt werden:
Die momentane Länge der Gegenkathete beträgt nach 0,3 Sekunden 18 Zentimeter.
Übertragung der Gleichung auf die Schwingungsbewegung
Da die Bewegungen äquivalent sind, wie oben schon erwähnt, lässt sich die Pendelbewegung mit dem gleichen mathematischen Formalismus beschreiben.
Dabei wird der Radius in der Formel für die Kreisbewegung durch die Amplitude der Schwingung ersetzt (siehe Bild oben). Denn der Abstand von Ruhelage und Umkehrpunkten ist als Amplitude A0
definiert. Es ergibt sich damit die folgende Formel für die Beschreibung der Elongation der Schwingung:
Beispiel:
Erstellt am 25.1.21