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Mathematische Beschreibung der Schwingung

Betrachtet man die Kreisbewegung des Stiftes, wie in der praktischen Demonstration, an dem sich drehenden Rad von der Seite, sieht man nur eine Auf- und Abbewegung. Diese Bewegung ist äquivalent zur Kreisbewegung. Beim Pendel passiert genau das Gleiche, es findet auch nur eine Auf- und Abbewegung statt.

Wer hat ein Foto von dieser Bewegung?

Da Schwingungen und Kreisbewegungen äquivalente Bewegungen sind, betrachten wir zunächst die Kreisbewegungen und übertragen dann die Ergebnisse auf die Schwingungen.



Die Eleongation y kann bei der Kreisbewegung mit Hilfe der Winkelbeziehung für den Sinus des Winkels φ berechnet werden:

sin ( φ ) = Gegenkathete Hypothenuse

oder

Gegenkathete = Hypothenuse ⋅ sin ( φ )


Setzt man in diese Gleichung die Angaben aus der Zeichnung ein (In dem Dreieck in dem Kreis ist y die Gegenkathete und r die Hypothenuse.) so erhält man für die Eleongation y:

y = r ⋅ sin φ ( t )


Der Drehwinkel φ ändert sich in Abhängigkeit von der Zeit. Deshalb wird φ(t) geschrieben. Er lässt sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω folgendermaßen ausdrücken:

φ ( t ) = ω ⋅ t


Setzt man dies in die Formel für die Eleongation y ein so erhält man:

y = r ⋅ sin ( ω ⋅ t )


Diese Formel beschreibt die Änderung der Elongation y während der Kreisbewegung.

Beispiel: Das Rad dreht sich in 0,8 Sekunden eine Runde. Welche Elongation y besitzt der Stift am Rad nach 0,3 Sekunden?

geg.: T = 0,8s, t = 0,3s, r = 26cm

ges.: y

y = r ⋅ sin ( ω ⋅ t )


Für diese Formel benötigen wir ω.

ω = 2 ⋅ π T = 2 ⋅ π 0 , 8s = 7 , 85 1 s


Nun kann ω in die Gleichung eingesetzt werden:

y ( t ) = 0 , 26m ⋅ sin 7.85 1 s ⋅ 0 , 3s = 0 , 18m


Die momentane Elongation beträgt nach 0,3 Sekunden 18 Zentimeter.

Übertragung der Gleichung auf die Schwingungsbewegung

Da die Bewegungen äquivalent sind, wie oben schon erwähnt, lässt sich die Pendelbewegung mit dem gleichen mathematischen Formalismus beschreiben. Dabei wird der Radius in der Formel für die Kreisbewegung durch die Amplitude der Schwingung ersetzt (siehe Bild). Denn der Abstand von Ruhelage und Umkehrpunkten ist als Amplitude A0 definiert. Es ergibt sich damit die folgende Formel für die Beschreibung der Elongation der Schwingung:

y = A 0 ⋅ sin ( ω ⋅ t )


Beispiel:
siehe Hausaufgabe 11

Erstellt von Stefan S. mit Ergänzungen durch Herrn Ecker 27.1.2015

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