Beschleunigung

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Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Beispiele:
U-Bahn- oder S-Bahn-Zug beim Verlassen des Bahnhofs, Flugzeug auf der Startbahn, Rakete beim Start, fallender Körper (freier Fall)
Alle diese Beispiele sind beschleunigte Bewegungen, d.h. die Geschwindigkeit nimmt während der Bewegung zu. Außerdem ist die Beschleunigung gleichmäßig, d.h. die Geschwindigkeit nimmt in gleichen Zeitintervallen immer um den gleichen Betrag zu.
Mit dieser Aussage definiert man auch gleich die physikalische Größe Beschleunigung:

Definition:
Die Beschleunigung a einer Bewegung ist der Quotient aus der Änderung der Geschwindigkeit und der dafür benötigten Zeit.

Als Formel gilt:

a = \frac{Δ v}{Δ t} = \frac{v_{2} - v_{1}}{t_{2} - t_{1}}

mit der Einheit:

1 \frac{m}{s^{2}}

Erarbeitung der Größe Beschleunigung:
An einem im Bahnhof losfahrenden Zug soll die Beschleunigung erklärt werden. Dazu wurden Messwerte aufgezeichnet und eine Messwerttabelle erstellt:

Messwerttabelle zum beschleunigten Zug

Zeit in s	Strecke in m
1	0,15
2	0,60
3	1,35
4	2,40
5	3,75
6	5,40
7	7,35
8	9,60
9	12,15
10	15,00
11	18,15
12	21,60
13	25,35
14	29,40
15	33,75
16	38,40
17	43,35
18	48,60
19	54,15
20	60,00

Auswertung:

Wir suchen eine Formel mit deren Hilfe wir den Weg, den ein beschleunigter Körper zurücklegt berechnen zu können.

Betrachtet man die Messwerttabelle so erkennt man, dass der Quotient aus dem Weg s und der Zeit t nicht konstant ist. Der Graf der sich aus den Messwerten ergibt deutet eine quadratische Abhängigkeit des Weges von der Zeit an, da er parabelförmig verläuft. Deshalb testen wir den Quotienten aus dem Weg s und dem Quadrat der Zeit (5. Spalte).

Es ergibt sich in der Tabelle eine Quotientengleichheit (5. Spalte):

Zeit t in s	Weg s in m	Δs in m	t² in s²	s/t² in m/s²	v = Δs/Δt in m/s	a = Δv/Δt in m/s²
0	0	0	0
1	0,15	0,15	1	0,15	0,15
2	0,6	0,45	4	0,15	0,45	0,3
3	1,35	0,75	9	0,15	0,75	0,3
4	2,4	1,05	16	0,15	1,05	0,3
5	3,75	1,35	25	0,15	1,35	0,3
6	5,4	1,65	36	0,15	1,65	0,3
7	7,35	1,95	49	0,15	1,95	0,3
8	9,6	2,25	64	0,15	2,25	0,3
9	12,15	2,55	81	0,15	2,55	0,3
10	15	2,85	100	0,15	2,85	0,3
11	18,15	3,15	121	0,15	3,15	0,3
12	21,6	3,45	144	0,15	3,45	0,3
13	25,35	3,75	169	0,15	3,75	0,3
14	29,4	4,05	196	0,15	4,05	0,3
15	33,75	4,35	225	0,15	4,35	0,3
16	38,4	4,65	256	0,15	4,65	0,3
17	43,35	4,95	289	0,15	4,95	0,3
18	48,6	5,25	324	0,15	5,25	0,3
19	54,15	5,55	361	0,15	5,55	0,3
20	60	5,85	400	0,15	5,85	0,3

Es gilt also:

s \sim t^{2}

und

\frac{s}{t^{2}} = c

Hier stand in der letzten Schulstunde schon a - das war leider falsch!
Ich war zu schnell!!!

Umstellen liefert dann:

s = c \cdot t^{2}

Die Konstante c hat die gleiche Einheit wie die Beschleunigung. Vergleicht man die Konstante c (5. Spalte) mit der Beschleunigung a (7. Spalte) so fällt auf, dass sie genau halb so groß ist wie diese. Es gilt also:

c = \frac{a}{2}

Damit ergibt sich dann für die gesuchte Formel:

s = \frac{1}{2} a \cdot t^{2}

Mit dieser Formel kann man den Weg berechnen, den ein gleichmäßig beschleunigter Körper, in einer bestimmten Zeit zurückgelegt hat.

Stellt man die Definitionsgleichung für die Beschleunigung (1. Gleichung ganz oben) nach der Geschwindigkeit v um so erhält man eine Gleichung mit der sich auch noch die Momentangeschwindigkeit der gleichmäßig beschleunigten Bewegung berechnen lässt:

v = a \cdot t

Diese beiden Gleichungen nennt man Bewegungsgleichungen der gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Nur diese gelten bei dieser Bewegungsart (sehr wichtig).

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Auswertung:

Beispiel des freien Falls

Video in Originalgeschwindigkeit

Video mit 10-facher Verlangsamung