Spannenergie
Spannkraft und Hookeshes Gesetz
Ein Expander ist ein Sportgerät, dass zum Muskeltraining verwendet wird. Es besteht aus elastischen Seilzügen oder Spiralfedern, die durch Kraftaufwand gedehnt werden können.
Ist man untrainiert schafft man es nur einige wenige Zentimeter zu dehnen.
Bild Expander
Nachdem einige Seilzüge entfernt wurden kann man das Expander weiter ausdehnen. Dabei stellten wir fest, dass die Ausdehnung immer mehr Kraft erfordert, je weiter das Expander gedehnt wurde.
Vermutung: Die Kraft die auf das Expander wirkt ist proportional zur Ausdehnung.
Diese Vermutung wird nun mit einem Federkraftmesser überprüft.
Bild 1
Wir ziehen den Federkraftmesser langsam auseinander und lesen gleichzeitig die Kraft und die Strecke s, um die der Federkraftmesser auseinander gezogen wurde ab.
Messwert-Tabelle
| F in N | 0,1 | 0,2 | 0,3 |
| s in cm | 1 | 2 | 3 |
Durch Berechnung der Quotienten der Wertepaare ergibt sich eine Quotientengleichheit.
Das bedeutet, dass die beiden Größen proportional zueinander sind. Diesen Zusammenhang bezeichnet man als Hookesches Gesetz:
Die Kraft auf eine Spiralfeder und deren Ausdehnung sind proportional zueinander.
Diesen konstanten Wert des Quotienten nennt man Federkonstante D. Es ergibt sich damit folgende Formel:
Die Federkonstante besitzt die Einheit
In unserem Fall ist die Federkonstante D = 10 .
Die Gleichung kann nach der Kraft F umgestellt werden:
Nach dem 3. Newton'schen Gesetz gilt, dass der Kraft die an der Feder zieht eine gleich große Kraft durch die Feder entgegen wirkt.
Bild 2
Weil die Richtung dieser Gegenkraft entgegengesetzt zur Dehnung s gerichtet ist, schreibt man die Formel in der Regel so:
oder als Vektoren (gerichtete Größen):
Spannarbeit und Spannenergie
Die mechanische Arbeit lässt sich folgendermaßen berechnen:
In dieser Formel wird die Kraft während des Weges als konstant betracht. Deshalb haben wir ein Problem, wenn wir die Arbeit beim Spannen einer Feder berechnen wollen. Denn die Kraft ist nicht konstant, sondern proportional zum Weg s. Da uns die mathematischen Mittel zur Lösung dieses Problems momentan noch fehlen, werden wir das Problem geometrisch lösen. Trägt man eine konstante Kraft in eine Kordinatensystem über dem Weg s auf, so ergibt sich folgendes Diagramm:
Bild 3
In diesem Diagramm ist die Fläche unter der Kraft die Arbeit W.
Betrachten wir nun das Diagramm der Spannarbeit:
Bild 4
Auch in diesem Diagramm ist die Arbeit W die Fläche unter der Kraft. Dabei zeigt sich, dass es diesmal nicht die Fläche eines Rechtecks ist, sondern die Fläche eines halb so großen Dreiecks. Es gilt also folgende Formel:
In diese Formel können wir nun die Formel für die Spannkraft einsetzen und erhalten:
Die Gesuchte Formel für die Spannarbeit lautet also:
Spannenergie
Wurde die Feder gespannt, so wurde Spannarbeit verrichtet und damit ist in der Feder Spannenergie gespeichert. Für diese gilt wieder, dass die Formel identisch mit der Spannarbeit ist:
Beispiel: Zur Beispielaufgabe von Stefan S.
Erstellt am 18.12.2014