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Beschreibung der Wechselspannung

Herleitung der Formel für die sinusförmige Spannung:
Verwendete Formeln:

$A_s=A\cdot \cos (\omega \cdot t)$ wirksame Fläche der Spule.

$\varphi =\omega \cdot t$ der Drehwinkel ϕ der Spule im Magnetfeld.

$\frac{d{A}_s}{dt}$ Ableitung der Wirksamen Fläche nach der Zeit.

$\frac{dB}{dt}$ Ableitung der magnetischen Flussdichte nach der Zeit.

Für die Induktionsspannung gilt das Induktionsgesetz.
Im Unterricht verwendeten wir zunächst folgende Formel:
$U_{\mathit{ind}}=-n\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{\Delta B}{\Delta t}\cdot A_s+\frac{\Delta A_s}{\Delta t}\cdot B\end{array}\right]$
Mit dieser Formel kann man aber nur Durchschnittswerte der Spannung im Intervall Δt berechnen.
Für die genaue Berechnung der Momentanwerte der induzierten Spannung zu einem bestimmten Zeitpunkt benötigt man die Ableitungen der beiden Terme:
$U_{\mathit{ind}}(t)=-n\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{dB}{dt}\cdot A_s+\frac{d{A}_s}{dt}\cdot B\end{array}\right]$
Das Induktionsgesetz setzt sich aus zwei Anteilen zusammen. Einmal der Formel für U_ind bei der Änderung der magnetischen Flussdichte $U_{\mathit{ind}}(t)=-n\cdot \frac{dB}{dt}\cdot A_s$ und zum anderen der Formel für U_ind bei einer Änderung der vom Magnetfeld durchwirkten Fläche
$U_{\mathit{ind}}(t)=-n\cdot \frac{d{A}_s}{dt}\cdot B$.
Allerdings benötigen wir dabei nicht den Teil mit der Änderung der magnetischen Flussdichte, da sich das Magnetfeld bei dem Versuch mit dem Helmholtz'schen Spulenpaar nicht verändert. Es genügt also,
$U_{\mathit{ind}}(t)=-n\cdot \frac{d{A}_s}{dt}\cdot B$ mit $A_s=A\cdot \cos (\omega \cdot t)$ zu betrachten.

Man setzt dann ein und erhält:
$U_{\mathit{ind}}(t)=-n\cdot B\cdot \frac{d(A\cdot \cos (\omega \cdot t))}{dt}$
Die Ableitung der Kosinusfunktion ist eine negative Sinusfunktion. Außerdem ist die Kettenregel anzuwenden. Damit ergib sich folgende Formel:
$U_{\mathit{ind}}(t)=n\cdot B\cdot A\cdot \omega \cdot \sin (\omega \cdot t)$
Die Konstanten n, B, A und ω werden zusammengefasst zu einer neuen Größe Û, die der Amplitude der Wechselspannung entspricht:
$U_{\mathit{ind}}(t)=\widehat{U}\cdot \sin (\omega \cdot t)$

Die Formelherleitung wurde von Lukas G. erstellt mit kleinen Änderungen durch Herrn Ecker 16.5.2013.