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Herleitung des Zeitgesetzes der induzierten Wechselspannung

Wird eine Spule in einem Magnetfeld gedreht so wird in ihr eine sinusförmige Wechselspannung erzeugt. Dies konnten wir zunächst aus der Zeigerbewegung des Voltmeters schließen.

Während der Drehung der Spule ändert sich nur die wirksame Fläche As. Die magnetische Flussdichte B ändert sich nicht.

Für die induzierte Spannung gilt daher im Durchschnitt:

U ind = − n ⋅ B ⋅ Δ A s Δ t


Dabei ist n die Windungszahl und As die wirksame Fläche, also die senkrecht zu den Feldlinien stehende Flächenkomponente: Für den genauen Momentanwert gilt:

A s = A ⋅ cos ϕ .

Der Quotient stellt dabei die Ableitung der wirksamen Fläche nach der Zeit t dar.

Es muss also die Änderung der wirksamen Fläche mathematisch beschrieben werden und in die Gleichung für den Momentanwert der induzierten Spannung eingesetzt werden. Dreht sich die Spule mit gleichmäßiger Winkelgeschwindigkeit ω, so gilt für den Winkel:

ϕ = ω ⋅ t .


Damit erhält man für die wirksame Fläche:

A s = A ⋅ cos ( ω ⋅ t ) .


Einsetzen liefert:

U ind = − n ⋅ B ⋅ d ( A ⋅ cos ( ω ⋅ t ) ) d t .


Was ausgerechnet folgende Formel liefert:

U ind = n ⋅ B ⋅ A ⋅ ω ⋅ sin ( ω ⋅ t ) .


Das negative Vorzeichen wird durch die Ableitung der Kosinusfunktion aufgehoben und das ω in der Formel stammt aus der inneren Ableitung der Kosinusfunktion.

Das Ergenis wird oft zusammengefasst zum Zeitgesetz der Wechselspannug:

U ind = U 0 ⋅ sin ( ω ⋅ t )

oder

U ind = U ̂ ⋅ sin ( ω ⋅ t )

mit
U 0 = n ⋅ B ⋅ A ⋅ ω

als Scheitelwert oder Amplitude der Wechselspannung.

Die folgende Abbildung erläutert noch einmal den gesamten Vorgeng.
Die Spule (Ansicht von der Seite) wird im homogenen Magnetfeld gedreht, dabei ändert sich ständig die wirksame Fläche As der Spule. Dadurch wird eine sinusförmige Wechselspannung erzeugt.
Es sind zwei volle Umdrehungen dargestellt. Die Zeit T für eine Runde beträgt 2 Sekunden.


Erzeugung sinusförmiger Wechselspannung



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