Bahnradien

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Berechnung der Bahnradien

Für die Berechnung der Bahnenergieen werden der Bahnradius und die Bahngeschwindigkeit benötigt, weil die Elektronen auf den Bahnen potenzielle und kinetische Energie besitzen.

Wir gehen von der Bahnbedingung aus:

F_{R} = F_{el}

also:

\frac{m_{e} v^{2}}{r} = \frac{e^{2}}{4 π ϵ_{0} \cdot r^{2}}

Mit Hilfe des ersten Postulats lassen sich die Geschwindigkeit der Elektronen und die Radien der Bahnen berechnen. Dazu wird das 1. Postulat nach r aufgelöst und in die Gleichung der Bahnbedingung eingesetzt:

2π \cdot r \cdot m_{e} \cdot v = n \cdot h

r = \frac{n \cdot h}{2 π \cdot m_{e} \cdot v}

\frac{m_{e} \cdot v_{n}^{2}}{(\frac{n \cdot h}{2 π \cdot m_{e} \cdot v_{n}})} = \frac{e^{2}}{4 π \cdot ϵ_{0} \cdot r^{2}}

Diese Gleichung löst man nach der Geschwindigkeit v auf:

v_{n} = \frac{e^{2}}{2 ϵ_{0} \cdot h \cdot n}

Mit dieser Formel lässt sich die Geschwindigkeit des Elektrons auf der n-ten Bahn berechnen.

Diese Formel kann jetzt für die Berechnung des Radius verwendet werden. Dazu wird sie in die das nach r umgestellte 1 Postulat eingesetzt:

r = \frac{n \cdot h}{2 π \cdot m_{e} \cdot v} = \frac{n \cdot h}{(\frac{2 \cdot π \cdot m_{e} \cdot e^{2}}{2 \cdot ϵ_{0} \cdot h \cdot n})}

Es ergibt sich dann für den Radius folgende Gleichung:

r = \frac{n^{2} \cdot ϵ_{0} \cdot h^{2}}{π \cdot m_{e} \cdot e^{2}}

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