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Berechnung der Bahnenergieen

Für die Berechnung der Bahnenergieen werden der Bahnradius und die Bahngeschwindigkeit benötigt, weil die Elektronen auf den Bahnen potenzielle und kinetische Energie besitzen.

Wir gehen von der Bahnbedingung aus:

F R = F el

also:

m e v 2 r = e 2 4 π ϵ 0 ⋅ r 2


Mit Hilfe des ersten Postulats lassen sich die Geschwindigkeit der Elektronen und die Radien der Bahnen berechnen. Dazu wird das 1. Postulat nach r aufgelöst und in die Gleichung der Bahnbedingung eingesetzt:

2π ⋅ r ⋅ m e ⋅ v = n ⋅ h

r = n ⋅ h 2 π ⋅ m e ⋅ v


m e ⋅ v n 2 n ⋅ h 2 π ⋅ m e ⋅ v n = e 2 4 π ⋅ ϵ 0 ⋅ r 2


Diese Gleichung löst man nach der Geschwindigkeit v auf:

v n = e 2 2 ϵ 0 ⋅ h ⋅ n


Mit dieser Formel lässt sich die Geschwindigkeit des Elektrons auf der n-ten Bahn berechnen.

Diese Formel kann jetzt für die Berechnung des Radius verwendet werden. Dazu wird sie in die das nach r umgestellte 1 Postulat eingesetzt:

r = n ⋅ h 2 π ⋅ m e ⋅ v = n ⋅ h 2 ⋅ π ⋅ m e ⋅ e 2 2 ⋅ ϵ 0 ⋅ h ⋅ n


Es ergibt sich dann für den Radius folgende Gleichung:

r = n 2 ⋅ ϵ 0 ⋅ h 2 π ⋅ m e ⋅ e 2

Die Bahnenergie

Die Bahnenergie der Elektronen setzt sich aus der potenziellen und der kinetischen Energie zusammen:

E ges = E kin + E pot


Die kinetische Energie ist nach Einsetzen der Bahngeschwindigkeit v:

E kin = 1 2 m e ⋅ v n 2 = 1 2 m e ⋅ e 2 2 ⋅ ϵ 0 ⋅ h ⋅ n 2 = m e ⋅ e 4 8 ⋅ ϵ 0 2 ⋅ h 2 ⋅ n 2


Die potentielle Energie ist nach Einsetzen des Bahnradius:

E pot = − 1 4 π ⋅ ϵ 0 Q 1 ⋅ Q 2 r n = − e 2 4 π ⋅ ϵ 0 ⋅ r n


Damit ist dann die Gesamtenergie auf der n-ten Bahn:

E n = − m e ⋅ e 4 8 ⋅ ϵ 0 2 ⋅ h 2 ⋅ n 2


Für die erste Bahn erhält man nach dem Einsetzen der Zahlenwerte:

E 1 = − 13 , 6eV = 2 , 18 ⋅ 10 -18 J


Daraus lassen sich sehr leicht die Energien der anderen Bahnen errechnen:

E n = E 1 n 2


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